វិសមភាព វេតស្សឹនបុក

នៅក្នុងគណិតវិទ្យា វិសមភាពវេតស្សឹនបុក(Weitzenböck's inequality)និយាយចំពោះជ្រុង$a$, $b$, $c$ និង​ផ្ទៃ$\Delta$ នៃត្រីកោណមួយ។​ វិសមភាពសំដែងដោយ​៖

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}\,\Delta \,$

សមភាពកើតឡើងលុះត្រាតែ ត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស​។

សំរាយបញ្ជាក់

សំរាយបញ្ជាក់នៃវិសមភាពនេះ គឺត្រូវបានដាក់ជាសំនួរនៅក្នុងគណិតវិទ្យាអូឡាំព្យាឆ្នាំ១៩៦១។ លទ្ធផលគឺមិនពិបាកណាស់ណាទេ ដោយប្រើរូបមន្តហេរុងចំពោះផ្ទៃនៃត្រីកោណមួយ។

${\begin{aligned}\Delta &{}={\frac {\sqrt {(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}{4}}\\&{}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\end{aligned}}$

វិធីសាស្រ្តទី១

${\begin{aligned}{}&(a^{2}-b^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2}+(c^{2}-a^{2})^{2}\geq 0\\{}\iff &2(a^{4}+b^{4}+c^{4})-2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\geq 0\\{}\iff &{\frac {4(a^{4}+b^{4}+c^{4})}{3}}\geq {\frac {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\\{}\iff &{\frac {(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})}{3}}\geq 2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\{}\iff &{\frac {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{3}}\geq (4\Delta )^{2}\end{aligned}}$

លទ្ធផលទទួលបានដោយគ្រាន់តែបំពាក់ឫសការេលើអង្គទាំង២ ។ ចំពោះវិសមភាពទី១ យើងឃើញថា សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល $a=b=c$ ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។

វិធីសាស្រ្តទី២

${\begin{aligned}&&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&ab+bc+ca\\\iff &&3(a^{2}+b^{2}+c^{2})&\geq &&(a+b+c)^{2}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)\left({\frac {a+b+c}{3}}\right)^{3}}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&{\sqrt {3(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\\iff &&a^{2}+b^{2}+c^{2}&\geq &&4{\sqrt {3}}\Delta \end{aligned}}$

សមភាពកើតឡើងនៅពេលដែល a = b = c ហើយត្រីកោណជាត្រីកោណសម័ង្ស។